二次函数与一元二次方程教学设计

　　二次函数与一元二次方程教学设计1

　　教学目标

　　一、教学知识点

　　1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.

　　2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.

　　3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h交点的横坐标.

　　二、能力训练要求

　　1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神

　　2、通过观察二次函数与x轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想.

　　3、通过学生共同观察和讨论，培养合作交流意识.

　　三、情感与价值观要求

　　1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.

　　2、具有初步的创新精神和实践能力.

　　教学重点

　　1.体会方程与函数之间的联系.

　　2.理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.

　　3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h交点的横坐标.

　　教学难点

　　1、探索方程与函数之间的联系的过程.

　　2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.

　　教学方法

　　讨论探索法

　　教学过程：

　　1、设问题情境，引入新课

　　我们已学过一元一次方程kx+b=0(k0)和一次函数y=kx+b(k0)的关系，你还记得吗?

　　它们之间的关系是：当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数的图像与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.

　　现在我们学习了一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.

　　2、新课讲解

　　例题讲解

　　我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+v0t+h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示，那么

　　(1)h与t的关系式是什么?

　　(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?

　　小组交流，然后发表自己的看法.

　　学生交流：(1)h与t的关系式是h=-5t2+v0t+h0，其中的v0

　　为40m/s，小球从地面抛起，所以h0=0.把v0,h0带入上式即可

　　求出h与t的关系式h=-5t2+40t

　　(2)小球落地时h为0，所以只要令h=-5t2+v0t+h0中的h=0求出t即可.也就是

　　-5t2+40t=0

　　t2-8t=0

　　t(t-8)=0

　　t=0或t=8

　　t=0时是小球没抛时的时间，t=8是小球落地时的时间.

　　也可以观察图像，从图像上可看到t=8时小球落地.

　　议一议

　　二次函数①y=x2+2x②y=x2-2x+1③y=x2-2x+2的图像如下图所示

　　(1)每个图像与x轴有几个交点?

　　(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?解方程验证一下,一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?

　　(3)二次函数的图像y=ax2+bx+c与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

　　学生讨论后，解答如下：

　　(1)二次函数①y=x2+2x②y=x2-2x+1③y=x2-2x+2的图像与x轴分别有两个交点、一个交点，没有交点.

　　(2)一元二次方程x2+2x=0有两个根0，-2;x2-2x+1=0有两个相等的实数根1或一个根1;方程x2-2x+2=0没有实数根

　　(3)从图像和讨论知，二次函数y=x2+2x与x轴有两个交点(0,0),(-2,0)，方程x2+2x=0有两个根0，-2;

　　二次函数y=x2-2x+1的图像与x轴有一个交点(1,0),方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根1或一个根1

　　二次函数y=x2-2x+2的图像与x轴没有交点,方程x2-2x+2=0没有实数根

　　由此可知，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

　　小结：

　　二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有焦点.当二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有交点时，交点的`横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

　　基础练习

　　1、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标.

　　(1)y=6x2-2x+1(2)y=-15x2+14x+8(3)y=x2-4x+4

　　2、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a=;若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是

　　3、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是.

　　4、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为(-2，0)，(3，0)，则p=，q=.

　　5.已知抛物线y=-2(x+1)2+8①求抛物线与y轴的交点坐标;②求抛物线与x轴的两个交点间的距离.

　　6、抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象全部在轴下方的条件是()

　　(A)a0b2-4ac0(B)a0b2-4ac0

　　(B)(C)a0b2-4ac0(D)a0b2-4ac0

　　想一想

　　在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m?你是怎样知道的?

　　学生交流：在式子h=-5t2+v0t+h0中v0为40m/s，h0=0，h=60m，代入上式得

　　-5t2+40t=60

　　t28t+12=0

　　t=2或t=6

　　因此当小球离开地面2秒和6秒时，高度是60m.

　　课堂练习72页

　　小结：本节课学习了如下内容：

　　1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A(x1，0)，B(x2，0)

　　2、一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个二次之间互相转化的关系.体现了数形结合的思想3、二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?

　　二次函数与一元二次方程教学设计2

　　一、教学目标：

　　1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。

　　2、理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。

　　3、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

　　二、教学重点、难点：

　　教学重点：

　　1、体会方程与函数之间的联系。

　　2、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

　　教学难点：

　　1、探索方程与函数之间关系的过程。

　　2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。

　　三、教学方法：

　　启发引导合作交流

　　四：教具、学具：

　　课件

　　五、教学媒体：

　　计算机、实物投影。

　　六、教学过程：

　　[活动1]检查预习引出课题

　　预习作业：

　　1。解方程：（1）x2+x—2=0;（2）x2—6x+9=0;（3）x2—x+1=0;（4）x2—2x—2=0。

　　2。回顾一次函数与一元一次方程的关系，利用函数的图象求方程3x—4=0的解。

　　师生行为：教师展示预习作业的内容，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。

　　教师重点关注：学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来，2题的格式要规范。

　　设计意图：这两道预习题目是对旧知识的回顾，为本课的教学起到铺垫的作用，1题中的三个方程是课本中观察栏目中的三个函数式的变式，这三个方程把二次方程的根的三种情况体现出来，让学生回顾二次方程的相关知识;2题是一次函数与一元一次方程的关系的问题，这题的设计是让学生用学过的熟悉的知识类比探究本课新知识。

　　[活动2]创设情境探究新知

　　问题

　　1。课本P16问题。

　　2。结合图形指出，为什么有两个时间球的高度是15m或0m？为什么只在一个时间球的高度是20m？

　　（结合预习题1，完成课本P16观察中的题目。）

　　师生行为：教师提出问题1，给学生独立思考的时间，教师可适当引导，对学生的解题思路和格式进行梳理和规范;问题2学生独立思考指名回答，注重数形结合思想的渗透;问题3是由学生分组探究的，这个问题的探究稍有难度，活动中教师要深入到各个小组中进行点拨，引导学生总结归纳出正确结论。

　　二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？

　　二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点

　　一元二次方程ax2+bx+c=0的根

　　一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式=b2—4ac

　　两个交点

　　两个相异的实数根

　　b2—4ac0

　　一个交点

　　两个相等的实数根

　　b2—4ac=0

　　没有交点

　　没有实数根

　　b2—4ac0

　　教师重点关注：

　　1、学生能否把实际问题准确地转化为数学问题;

　　2、学生在思考问题时能否注重数形结合思想的应用;

　　3、学生在探究问题的过程中，能否经历独立思考、认真倾听、获得信息、梳理归纳的过程，使解决问题的方法更准确。

　　设计意图：由现实中的实际问题入手给学生创设熟悉的问题情境，促使学生能积极地参与到数学活动中去，体会二次函数与实际问题的关系;学生通过小组合作分析、交流，探求二次函数与一元二次方程的关系，培养学生的合作精神，积累学习经验。

　　[活动3]例题学习巩固提高

　　问题：例利用函数图象求方程x2—2x—2=0的实数根（精确到0.1）。

　　师生行为：教师提出问题，引导学生根据预习题2独立完成，师生互相订正。

　　教师关注：（1）学生在解题过程中格式是否规范;（2）学生所画图象是否准确，估算方法是否得当。

　　设计意图：通过预习题2的铺垫，同学们已经从旧知识中寻找到新知识的生长点，很容易明确例题的解题思路和方法，这样既降低难点且突出重点。

　　[活动4]练习反馈巩固新知

　　问题：（1）P97。习题1、2（1）。

　　师生行为：教师提出问题，学生独立思考后写出答案，师生共同评价;问题（2）学生独立思考后同桌交流，实物投影出学生解题过程，教师强调正确解题思路。

　　教师关注：学生能否准确应用本节课的知识解决问题;学生解题时候暴露的共性问题作针对性的点评，积累解题经验。

　　设计意图：这两个题目就是对本节课知识的巩固应用，让新知识内化升华，培养数学思维的严谨性。

　　[活动5]自主小结，深化提高：

　　1、通过这节课的学习，你获得了哪些数学知识和方法？

　　2、这节课你参与了哪些数学活动？谈谈你获得知识的方法和经验。

　　师生活动：学生思考后回答，教师对学生的错误予以纠正，不足的予以补充，精彩的适当表扬。

　　设计意图：

　　1、题促使学生反思在知识和技能方面的收获;

　　2。题让学生反思自己的学习活动、认知过程，总结解决问题的策略，积累学习知识的方法，力求不同的学生有不同的发展。

　　[活动6]分层作业，发展个性：

　　1、（必做题）阅读教材并完成P97习题21.2：3、4。

　　2、（备选题）P97习题21.2：5、6

　　设计意图：分层作业，使不同层次的学生都能有所收获。

　　七、教学反思：

　　1、注重知识的发生过程与思想方法的应用

　　《用函数的观点看一元二次方程》内容比较多，而课时安排只一节，为了在一节课的时间里更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律遵循教师为主导、学生为主体的指导思想，本节课给学生布置的预习作业，从学生已有的经验出发引发学生观察、分析、类比、联想、归纳、总结获得新的知识，让学生充分感受知识的产生和发展过程，使学生始终处于积极的思维状态中，对新的知识的获得觉得不意外，让学生跳一跳就可以摘到桃子。

　　探究抛物线交x轴的点的'个数与一元二次方程的根的个数之间的关系及其应用的过程中，引导学生观察图形，从图象与x轴交点的个数与方程的根之间进行分析、猜想、归纳、总结，这是重要的数学中数形结合的思想方法，在整个教学过程中始终贯穿的是类比思想方法。这些方法的使用对学生良好思维品质的形成有重要的作用，对学生的终身发展也有一定的作用。

　　2、关注学生学习的过程

　　在教学过程中，教师作为引导者，为学生创设问题情境、提供问题串、给学生提供广阔的思考空间、活动空间、为学生搭建自主学习的平台;学生则在老师的指导下经历操作、实践、思考、交流、合作的过程，其知识的形成和能力的培养相伴而行，创造海阔凭鱼跃，天高任鸟飞的课堂境界。

　　3、强化行为反思

　　反思是数学的重要活动，是数学活动的核心和动力，本节课在教学过程中始终融入反思的环节，用问题的设计，课堂小结，课后的数学日记等方式引发学生反思，使学生在掌握知识的同时，领悟解决问题的策略，积累学习方法。说到数学日记，数学日记就是学生以日记的形式，记述学生在数学学习和应用过程中的感受与体会。通过日记的方式，学生可以对他所学的数学内容进行总结，写出自己的收获与困惑。数学日记该如何写，写什么呢？开始摸索写数学日记的时候，我根据课程标准的内容给学生提出写数学日记的简单模式：日记参考格式：课题;所涉及的重要数学概念或规律;理解得最好的地方;不明白的或还需要进一步理解的地方;所涉及的数学思想方法;所学内容能否应用在日常生活中，举例说明。通过这两年的摸索，我把数学日记大致分为：课堂日记、复习日记、错题日记。

　　4、优化作业设计

　　作业的设计分必做题和选做题，必做题巩固本课基础知识，基本要求;选做题属于拓广探索题目，培养学生的创新能力和实践能力。

　　二次函数与一元二次方程教学设计3

　　教学目标

　　掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。

　　重点、难点：

　　二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。

　　教学过程：

　　一、情境创设

　　一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标

　　问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？

　　问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？

　　二、探索活动

　　活动一观察

　　在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。

　　活动二观察与探索

　　如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:

　　(1)图象与x轴的交点的.坐标为A(，),B(，)

　　(2)当x=时，函数值y=0。

　　(3)求方程x2-x-6=0的解。

　　(4)方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？

　　活动三猜想和归纳

　　(1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。

　　（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？

　　这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。

　　三、例题分析

　　例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。

　　(1)y=x2-10x+25

　　(2)y=3x2-4x+2

　　(3)y=-2x2+3x-1

　　例2.已知二次函数y=mx2+x-1

　　(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点

　　(2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点？

　　(3)当m为何值时，图象与x轴无交点？

　　四、拓展练习

　　1.如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。

　　(1)请写出方程ax2+bx+c=0的根

　　(2)列举一个二次函数，使其图象与x轴交于(1,0)和(4,0)，且适合这个图象。

　　2.列举一个二次函数，使其图象开口向上，且与x轴交于(-2,0)和(1,0)

　　五、小结

　　这节课我们有哪些收获？

　　六、作业

　　求证：二次函数y=x2+ax+a-2的图象与x轴一定有两个不同的交点。

　　二次函数与一元二次方程教学设计4

　　教学目标

　　知识与技能

　　1.总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.

　　2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.

　　过程与方法

　　经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.

　　情感态度价值观

　　通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想.

　　教学重点和难点

　　重点:方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.

　　难点:二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.

　　教学过程设计

　　（一）问题的提出与解决

　　问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系

　　h＝20t—5t2

　　考虑以下问题

　　（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？

　　（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？

　　（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？

　　（4）球从飞出到落地要用多少时间？

　　分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数

　　h=20t－5t2.

　　所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.

　　解：（1）解方程15＝20t—5t2.t2—4t＋3=0.t1＝1,t2＝3.

　　当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.

　　（2）解方程20＝20t－5t2.t2－4t＋4＝0.t1＝t2＝2.

　　当球飞行2s时，它的高度为20m.

　　（3）解方程20.5＝20t－5t2.t2－4t＋4.1＝0

　　因为（－4）2－4×4.1<0>（4）解方程0＝20t－5t2.t2－4t＝0.t1＝0,t2＝4.

　　当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出.4s时球落回地面

　　播放课件：函数的图像，画出二次函数h=20t－5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案.

　　从上面可以看出.二次函数与一元二次方程关系密切.

　　由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？

　　例如：已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3.求自变量x的值.可以解一元二次方程－x2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0）.反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2－4＋3的值为0，求自变量x的值.

　　一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.

　　（二）问题的讨论

　　二次函数（1）y＝x2＋x－2；

　　（2）y＝x2－6x＋9；

　　（3）y＝x2－x＋0.

　　的图象如图26.2－2所示.

　　（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？

　　（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？

　　先画出以上二次函数的图象，由图像学生展开讨论，

　　在老师的引导下回答以上的问题.

　　可播放课件：函数的图像，输入a,b,c的值，划出对应的函数的图像，观察图像，说出函数对应方程的解.

　　可以看出：

　　（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1.

　　（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3.

　　（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根.

　　总结：一般地，如果二次函数y=的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程=0的根.

　　（三）归纳

　　一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的.图象可知，（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根.

　　（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.

　　由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的

　　（四）例题

　　例利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.

　　解：作y＝x2－2x－2的图象（图26.2－3），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7,2.7.

　　所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7,x2≈2.7.

　　播放课件：函数的图象与求解一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图像估计出方程x2－2x－2＝0实数根的近似解，后一个课件可以准确的求出方程的解，体会其中的差异.

　　（五）小结

　　总结本节的知识点.

　　（六）作业:

　　（七）板书设计

　　二次函数与一元二次方程

　　抛物线y＝ax2＋bx＋c与方程ax2＋bx＋c=0的解之间的关系

　　例题

　　二次函数与一元二次方程教学设计5

　　【教学目标】

　　1、知识与技能：

　　（1）体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法；

　　（2）理解二次函数图象与x轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征；

　　（3）理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）图象交点的横坐标。

　　2、过程与方法：

　　（1）由一次函数与一元一次方程根的联系类比探求二次函数与一元二次方程之间的联系；

　　（2）经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想。

　　3、情感、态度与价值观：

　　培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的.联系与转化、体验探究的乐趣和学会用辨证的观点看问题的思维品质。

　　【重点与难点】

　　重点：经历“类比--观察--发现--归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程。难点：准确理解二次函数与一元二次方程的关系。

　　【教法与学法】

　　教法(=)：命题课，采用“发现式学习”的方式，注重“最近发展区”，寻根问源，以旧知识为基础创设问题情境，引导学生经历“类比—猜想—观察—发现—归纳—应用”的探究过程。学法：探究式学习。

　　【课前准备】

　　多媒体、PPT课件。

　　【教学过程】

　　附：板书设计：