《用公式法解一元二次方程》教案

　　《用公式法解一元二次方程》教案1

　　教学内容：

　　12.1用公式解一元二次方程（一）

　　教学目标：

　　知识与技能目标：

　　1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；

　　2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．

　　过程与方法目标：

　　1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；

　　2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．

　　情感与态度目标：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识。

　　教学重、难点：

　　重点：一元二次方程的意义及一般形式．

　　难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”。

　　教学程序设计：

　　程序

　　1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．

　　2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？

　　教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．

　　板书：“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．

　　学生看投影并思考问题

　　通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．

　　探究新知1

　　1．复习提问

　　（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？

　　（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？

　　（3）什么叫做分式方程？

　　2．引例：剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？

　　引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以观察、比较，得到整式方程和一元二次方程的概念．

　　整式方程：方程的'两边都是关于未知数的整式，这样的方程称为整式方程

　　一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程

　　3．练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程？

　　（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x2；

　　（2）7x2＋6＝2x（3x＋1）；

　　（3）6x2＝x；

　　（4）2x2＝5y；

　　（5）-x2＝0

　　4．任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式．

　　一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．ax2称二次项，bx称一次项，c称常数项，a称二次项系数，b称一次项系数．

　　一般式中的“a≠0”为什么？如果a＝0，则ax2+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解．

　　5．例1把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？

　　教师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式．

　　讨论后回答

　　学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以观察、比较，

　　独立完成

　　加深理解

　　学生试解

　　问题的提出及解决，为深刻理解一元二次方程的概念做好铺垫

　　反馈训练应用提高

　　练习1：教材P．5中1，2．

　　练习2：下列关于x的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项：

　　（b2＋1）x2-bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx

　　教师提问及恰当的引导，对学生回答给出评价，通过此组练习，加强对概念的理解和深化．

　　要求多数学生在练习本上笔答，部分学生板书，师生评价．题目答案不唯一，最好二次项系数化为正数．

　　小结提高

　　总结、扩展

　　引导学生从下面三方面进行小结．从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？

　　1．将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会知识来源于实际以及转化为方程的思想方法．

　　2．整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项．归纳所学过的整式方程．

　　3．一元二次方程的意义与一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的区别和联系．强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义．

　　学生讨论回答

　　布置作业

　　1．教材P．6练习2．

　　2．思考题：

　　1）能不能说“关于x的整式方程中，含有x2项的方程叫做一元二次方程？”

　　2）试说出一元三次方程，一元四次方程的定义及一般形式（学有余力的学生思考）．

　　《用公式法解一元二次方程》教案2

　　一、教材分析

　　（一）教材的地位和作用

　　“一元二次方程的解法”是初中代数的方程中的一个重要内容之一，是在学完一元一次方程、因式分解、数的开方、以及前三种因式分解法、直接开方法、配方法解一元二次方程的基础上，掌握用求根公式解一元二次方程，是配方法和开平方两个知识的综合运用和升华。通过本节课的教学使学生明确配方法是解方程的通法，同时会根据题目选择合适的方法解一元二次方程。一元二次方程的解法也是今后学习二次函数和一元二次不等式的基础。

　　（二）教学目标

　　知识技能方面：理解一元二次方程求根公式的推导过程，会用公式法解一元二次方程。

　　数学思考方面：通过求根公式的推导过程进一步使学生熟练掌握配方法，培养学生数学推理的严密性和逻辑性以及由特殊到一般的数学思想。

　　解决问题方面：结合用公式法解一元二次方程的练习，培养学生快速准确的运算能力和运用公式解决实际问题的能力。

　　情感态度方面：让学生体验到所有的方程都可以用公式法解决，感受到公式的对称美、简洁美，渗透分类的思想；公式的引入培养学生寻求简便方法的探索精神和创新意识。

　　（三）教学重、难点

　　重点：掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤；会熟练用公式法解一元二次方程。

　　难点：理解求根公式的推导过程和判别式

　　二、教学法分析

　　教法：本节课采用引导发现式的自主探究式与交流讨论结合的方法；在教学中由旧知识引导探究一般化问题的形式展开，利用学生已有的知识、多交流、主动参与到教学活动中来。

　　学法：让学生学会善于观察、分析讨论和分类归纳的方法，提出问题后，鼓励学生通过分析、探索、尝试解决问题的方法，铜锁亲自尝试，使学生的思维能力得到培养。

　　三、过程分析

　　本节课的教学设计成以下六个环节：复习导入——呈现问题——例题讲解——巩固练习课时小结——布置作业。

　　1、复习引入：

　　这节课，我首先从旧知

　　问题（1）用配方法解方程2x28x90的练习引入，

　　问题（2）总结配方法的一般步骤（化一般方程——二次项系数为1——配方使左边为完全平方式——两边开方——求解）。

　　设计意图：让学生巩固昨天的知识，进一步熟练钥匙并为今天做学的内容解一般形式的一元二次方程做好铺垫，达到“温故而知新”。

　　2、问题呈现：

　　你能用配方法解一般形式的一元二次方程吗？

　　此处由一个特殊的旧知引导学生推导出一般的结果，希望学生学会由特殊性到一般化的思想。为降低b2b24ac推导的难度，化简、移项、配方、变形由我和学生一起探究完成，到(x这步时，提出)

　　问题：①此时可以直接开平方吗？

　　②等号右边的值需要满足什么条件？为什么？

　　③等号右边的值只跟哪个式子有关？

　　设计意图：师生共同完成前四步，这样与利于减轻学生的思维负担，便于将主要精力放在后边公式的.推导上。通过小组的讨论有利于发挥学生的互帮互助，借助小组的交流完善答案，关键让学生会对掌握b24ac与方程有无实数根的关系，这里分类思想也是今后常用的一种数学思想，b24ac进行讨论，

　　应加以强化。

　　最终总结出：

　　当b24ac＜0时，原方程无实数解。

　　当b24ac≥0时，原方程有实数解，

　　再进一步谈论：b24ac＝0与b24ac＞0时，两个解区别？

　　（b24ac＝0时，两个相等的实数解，b24ac＞0时，两个不等的实数解）

　　由此可知，方程有解还是无解是由b24ac决定，即b24ac是方程解的判别式。

　　同时，方程的解是可以将a、b、c

　　的值带入公式x根公式”，利用它解一元二次方程叫做公式法。

　　3、例题讲解

　　例4：用公式法解下列方程

　　总结步骤：

　　1、把方程公成一般形式，并写出a,b,c的值。

　　2、求出b24ac的值

　　3、写出方程的解：x1=,x2=

　　设计意图：规范解题格式，让学生体会数学课中的严谨的逻辑推理；体验并掌握公式法解一元二次方程的步骤，从中让学生领会到由特殊到一般，一般到特殊的辩证思想。

　　4、巩固练习

　　解下列一元二次方程：①x2x60

　　②4x2x90

　　③x2100

　　设计意图：

　　（1）熟悉公式法，强化解题格式，

　　（2）及时发现错误及时解决。

　　例5:解方程：x(x1)(x2)

　　化简得12212x3x402

　　强调：

　　①当方程不是一般形式时，应先化成一般形式，再运用求根公式。

　　②你还能用其他方法解本例方程吗？

　　设计意图：明确一元二次方程解题方法的多样性，让学生在你观察分析题目后灵活合理的选择解题方法，培养学生的多样化思维，提高解题能力和解题的速度。

　　5、课时小结

　　（1）学生作知识总结：本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步骤解一元二次方程。

　　（2）我扩展：（方法归纳）求根公式是一元二次方程的专用公式，只有在确定方程是一元二次方程时才能使用，是常用而重要的一元二次方程的万能求根公式。

　　6、布置作业：面向全体学生，注重个体差异，加强作业的针对性，分层布置作业，适应新课标，让不同的学生各其所长，因材施教的要求，提高他们的学习的兴趣和自信心。

　　四、板书设计

　　本节课内容较为单一，通过“层层设疑”、“复习回顾”等环节促进学生的思考和探究。

　　通过比较合理的问题设计巩固练习、小组讨论等形式给学生提供了充分的展示机会，强化了学生的运算能力，有利于学生掌握基本技能。

　　《用公式法解一元二次方程》教案3

　　【教学目标】

　　会熟练应用公式法解一元二次方程．

　　【重难点关键】

　　重点：

　　求根公式的推导和公式法的应用．

　　难点与关键：

　　一元二次方程求根公式法的推导．

　　【教学过程】

　　一、复习引入

　　1.什么叫做一元二次方程？写出其一般形式.

　　2.什么叫做配方法解一元二次方程？

　　用配方法解一元二次方程的步骤是什么？

　　（一化二移三配四变五开六变七求八定）

　　3.（学生活动）用配方法解下列方程（1）6x-7x+1=0（2）4x-3x=52

　　总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．

　　（1）化二次项系数为1；

　　（2）移项；

　　（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；

　　（4）原方程变形为（x+a）=b的形式；

　　（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．

　　（一化二移三配四变五开六变七求八定）

　　二、探索新知

　　如果这个一元二次方程是一般形式ax+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的'步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．

　　问题：已知ax+bx+c=0（a≠0）且b-4ac≥0，试推导它的两个根X1,X2.

　　分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．

　　由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：

　　（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0

　　（2）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法

　　（3）由求根公式可知一元二次方程最多有两个实数根

　　三、学以致用

　　例1．用公式法解下列方程．

　　（1）x-7x-18=0

　　（2）2x+5x=-2

　　（3）（x-2）（3x-5）=0

　　分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可

　　【巩固练习】

　　教材P63

　　随堂练习

　　四、归纳小结

　　本节课应掌握：

　　（1）求根公式的概念及其推导过程；

　　（2）公式法的概念；

　　（3）应用公式法解一元二次方程；

　　（4）初步了解一元二次方程根的情况．

　　五、布置作业

　　教材P63习题8.6

　　《用公式法解一元二次方程》教案4

　　[教学目标]

　　一、知识与技能目标能够根据方程的各项系数，判断出方程的根的情况，并能正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程

　　二、过程与方法目标在教师的指导下，经历观察、推导、交流归纳等活动导出一元二次方程的求根公式，培养学生的合情推理与归纳总结的能力

　　三、情感与价值观目标一方面有有要培养学生的'独立思考的习惯，同时又要培养大家的合作交流意识

　　四、教学重点与难点

　　本节课的重点：正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。

　　难点：正确地推导出一元二次方程的求根公式，理解b-4ac对一元二次方程根的影响。

　　[教学过程]

　　一、预习导学

　　1、一元二次方程的一般形式

　　2、用配方法解一元二次方程的一般步骤

　　3、用配方法解方程

　　（1）x-6x+9=0（2）2x+6x+4=0（3）x-4x+5=0

　　二、精讲点拨

　　1、用配方法解一元二次方程的一般形式

　　ax+bx+c=0(a≠0)

　　得出结论一般地，式子b-4ac叫做方程ax+bx+c=0(a≠0)根的判别式，用“Δ”表示，即Δ=b-4ac

　　Δ≥0时方程有实数根

　　总结求根公式

　　2、用公式法解一元二次方程的一般步骤？

　　例题精讲

　　例：用公式法解下列方程

　　x-4x-7=0

　　解：a=b=c=

　　Δ===

　　方程有实数根

　　即x==

　　x=x=

　　三、当堂训练